1

Topic: बिंदू, रेषा, अनंत संकल्पना, भौतिकशास्त्र आणि गणित

प्रश्न: भौतिकशास्त्राने रेषाखंडात अनंत बिंदू संकल्पना मानावे कि ‘n’ बिंदू संकल्पना मानावे?

भौतिकशास्त्रज्ञ आणि गणिततज्ञ अनेक संकल्पना मांडताना रेषा वापरतात.

गुरुत्वाकर्षण आणि विश्व प्रसरण संबधी भौतिकशास्त्रज्ञ आणि गणिती अलेक्झांडर फ्रीडमन यांनी
३ शक्यतेच्या ३ आकृत्यांद्वारे विश्लेषण केले. शक्यता २ आणि ३ ह्यामधील अनंत अवकाशाची संकल्पना
मला समजते पटते देखिल.

गणिततज्ञ जॉर्ज कँटर ह्यांनी बिंदू, रेषाखंड आणि अनंत संकल्पाने बद्दल काही (Paradox) विरोधाभास मांडले.

विरोधाभास क्र.१.
दोन असमान लांबीच्या रेषाखंडात समान अनंत बिंदू असतात.
पण रेषेबद्दलचा हा विरोधाभास भौतिकशास्त्र मान्य करत का?
मला रेषाखंडा मध्ये अनंत बिंदू असतात हे पटत नाही.
मला वाटत कोणत्याही रेषाखंडात बिंदू अनंत न मानता ‘n’ बिंदू मानावेत.
अर्थातच जास्त लांबीच्या रेषाखंडात जास्त बिंदू आहेत.

मी हा प्रश्न (Analytic Geometry) बीजभूमिती आणि (Set theory) संच पद्धतीने मांडतो.
लाल रंग रेषाखंड कख आणि निळा रंग रेषाखंड चछ २ वेगवेगळे रेषाखंड आहेत.
क्ष अक्षावर 0 ह्या बिंदूपासून पुढे निळा रंग रेषाखंड चछ ठेवला,
त्या रेषाखंडावर लाल रंग रेषाखंड कख ठेवला.

अक्ष ‘क्ष’ आणि अक्ष ‘य’ वर प, फ, ब, भ, म, त, थ, द, ध, न बिंदू आहेत.

0प = पफ = फब = बभ = भम = मत = तथ = थद = दध = धन
0प < 0फ < 0ब < 0भ < 0म < 0त < 0थ < 0द < 0ध < 0न

रेषाखंड कख ….क (0, 0) -- ख (फ, 0)
रेषाखंड चछ ….च (0, 0) -- छ (म, 0)

संच पद्धतीने एकास एक संगत कख, अक्ष क्ष आणि चछ:

संच संगत       कख            अक्ष क्ष               चछ

संच १       { 0, प }     =     { 0, प }     =     { 0, प }
संच २       { प, फ }    =      { प, फ }    =     { प, फ }
संच ३       {        }    =      { फ, ब }    =     { फ, ब }
संच ४       {        }    =      { ब, भ }    =     { ब, भ }
संच ५       {        }    =     { भ, म }    =     { भ, म }
संच ६       {        }    =     { म, त }    =     {        }
संच ७       {        }    =     { त, थ }    =     {        }

ह्या संच संगत निर्देशानुसार

रेषाखंड कख  <  रेषाखंड चछ
रेषाखंड कख एकूण बिंदू  <  रेषाखंड चछ एकूण बिंदू

रेषाखंड कख  संच हा संच क्र.३ पासून रिकामा आहे.

आधारतत्व: प्रत्येक बिंदूला त्याचे स्वत:चे भौमितीक स्थान असते.

म्हणूनच मला वाटते कोणताही रेषाखंड ‘n’ बिंदूंचा बनलेला आहे असे मानावे.

ह्या आकृतीत बिंदूंचे एकास एक संगत युक्लीड भूमिती मधील समांतर रेषा - लंब रेषेने केले जावू शकते.
जॉर्ज कँटर ह्यांच्या आकृतीत लंब - समांतर रेषा वापरून बिंदू संगती नाही.
अधिक सोप करण्यासाठी घडयाळाचे काटे हेच अक्ष क्ष आणि अक्ष य मानून बिंदू संगती पडताळून पाहता येते.

जसे सरळ रेषेबद्दल तसेच वर्तूळाबद्द्ल दोन असमान परिघाच्या वर्तूळ रेषेवरील बिंदू हे परीघाच्या कमी जास्त प्रमाणात असतात.
..................................................................................................................................
मी फक्त ढोबळ विचार मांडलेला आहे. तज्ञ व्यक्तिंकडून प्रतिक्रिया अपेक्षित.
हाच विचार आकृतीने अधिक चांगला समजतो. सध्या इथे JPG file समावेश करणे शक्य नसल्याने फक्त शब्दात मांडलेला आहे.

धन्यवाद
उदय नागांवकर

Last edited by Uday Nagaonkar (26-06-2014 <> 00:26:26 AM)

2

Re: बिंदू, रेषा, अनंत संकल्पना, भौतिकशास्त्र आणि गणित

सुरेख आणि सोपी भाषा. आणि त्यामुळे समजले देखील. बाकी या विषयातले तज्ञ अधिक काय म्हणतात त्याची मला देखील उत्सुकता आहे.

3

Re: बिंदू, रेषा, अनंत संकल्पना, भौतिकशास्त्र आणि गणित

रेषाखंड हा n बिंदूंनी दाखवावा लागेल.
यामध्ये रेषाखंड कमी किंवा जास्त लांबीचा असल्यास, त्यामधील बिंदूंची संख्या हि कमी किंवा जास्त असेल.

रेषा मात्र अनंत बिंदूंची मिळून बनते. त्यामुळे कोणत्याही दोन रेषा (समान) अनंत बिंदूंची असेल.